Luận văn Nghiên cứu tính toán tấm trên nền và nền cọc bằng phương pháp phần tử hữu hạn

9 x E ( x y ) 1 2 E y ( y x ) 1 2 xy (1.2) E xy 2(1 ) Trong ú: - h s poisson; E - mụ un n hi ca tm ng hng. Mt khỏc theo lý thuyt n hi ta cú: x z 2w x 2 y z 2w y 2 xy -2z 2w x y 2w 2 x x 2w { }= -z 2 = -z y y 2 xy 2w 2 x y hay: (1.3) Trong ú: x 2w - cong ca mt trung bỡnh theo phng ca trc x x 2 y 2w - cong ca mt trung bỡnh theo phng trc y y 2 xy 2w - xon ca mt trung bỡnh. x y Thay cỏc biu thỳc bin dng vo ng sut ta c: Hc viờn: Lờ Th Hu Lp 15C2 10 x Ez 2 w 2w ( 2 2 ) 1 2 x y (1.4) E 2w 2w y ( 2 ) 1 2 y 2 x xy Hay 1 Ez { }= 1 2 0 Ez 2 w 1 x y 0 0 1 2 1 0 2w 2 x 2w Ez 2 = 1 2 y 2w 2 x y 1 0 0 x 0 y (1.5) 1 2 xy 2 1 0 Ni lc ca tm trờn mt trung bỡnh c biu din qua cỏc biu thc sau: h/2 Mx = h/2 X zdz ; My = h / 2 h/2 y zdz ; Mxy = Myx = h / 2 h/2 Qx = xy zdz h / 2 h/2 xz dz ; Qy = h / 2 yz dz (1.6) h / 2 Nu thay cỏc biu thc tớnh ng sut (1.4) vo biu thc tớnh ni lc (1.6) V ly tớch phõn theo chiu dy h ca tm ta c: Mx = - D( 2w 2w + 2 ) x 2 y My = - D( 2w 2w + 2 ) y 2 x Mxy = Myx = - D(1 - ) Qx = - D 2w x y (1.7) ( 2 w) x Qy = - D ( 2 w) y Trong ú: D: cng chng un ca tm Hc viờn: Lờ Th Hu Lp 15C2 11 Eh3 D= 12(1 2 ) (1.8) Vit li di dng ma trn ta c: Mx 1 3 Eh {M}= M y = 12(1 2 ) M 0 xy 0 1 0 1 0 2 2w 2 x 2w 2 = - [D] y 2 w 2 x y x y 2 xy (1.9) Trong ú [D] - ma trn hng s n hi trong bi toỏn ng sut phng 1 Eh [D] = 2 12(1 ) 0 3 1 0 0 0 1 2 (1.10) Ngoi ra, vi tm chu un liờn h gia gúc xoay v vừng c biu din bng cụng thc sau: x w x y w y (1.11) Th nng ca phn t tm chu un cú dng: = 1 2 T { }dV - (1.12) p( x, y )wd v Thay giỏ tr ca { },{ } t (1.3) v (1.5) vo (1.12) v ly tớch phõn theo chiu dy tm, ta cú th biu din th nng phn t tm thụng qua vừng mt trung bỡnh nh sau: a 1 = D 2 0 b 0 2 a 2 w 2 2 w 2 2 w 2 w 2 w 2 2 2 2 2(1 ) dxdy x y 2 x y x y 0 b p( x, y)wdxdy (1.13) 0 Cú th biu din vộc t bin dng v vộc t ng sut ca tm thụng qua cong v ni lc ca mt trung bỡnh nh sau: Hc viờn: Lờ Th Hu Lp 15C2 12 2w 2 x x Mx 2w { }= 2 = - y ; { }={M}= M y =-[D] M y xy 2 2 xy w 2 x y x y =[D] { } (1.14) 2 xy Nu thay giỏ tr ca { },{ } t (1.14) vo biu thc th nng phn t tm chu un (1.12) ta cng nhn c (1.14). Phng trỡnh gii bi toỏn tm l phng trỡnh vi phõn cõn bng Sophie Gerrmain-Lagrange 2 2 2w 2w 4w 4w 4w p 4 w = 2 2 2 2 = 4 +2 2 2 + 4 = D y x x y y x y x (1.15) Gii phng trỡnh (1.15) ta s nhn c li gii tng quỏt ca tm chu un. Li gii ny ch cú th l li gii ca bi toỏn c th khi nú tha món cỏc iu kin biờn ca bi toỏn. 1.2. Cỏc phng phỏp gii bi toỏn tm Cú hai phng phỏp gii bi toỏn tm: - Phng phỏp gii tớch - Phng phỏp s 1.2.1. Phng phỏp gii tớch [9] Ni dung ca phng phỏp ny l gii trc tip phng trỡnh Sophie Gerrmain-Lagrange vi nhng iu kin biờn c th cho tng bi toỏn. Xột v khớa cnh toỏn hc, õy l mt nhim v hon ton khụng n gin. õy, chỳng ta ch nhc n li gii ca Navier v Levy i vi tm ch nht chu un v phng phỏp bin phõn. a. Li gii ca Navier cho tm cú biờn ta + Xột tm ch nht cú biờn ta, chu ti trng phõn b q(x, y). Khi ú ta cú cỏc iu kin biờn nh sau: - Ti x = 0 v x = a Hc viờn: Lờ Th Hu w = 0 v 2w =0 x 2 Lp 15C2 13 - 2w w = 0 v =0 y 2 Ti y = 0 v y = b Navier ngh khai trin hm vừng w(x, y) v hm ti trng q(x, y) thnh cỏc chui lng giỏc kộp: W(x,y) = Amn sin m 1 n 1 Q(x,y) = Bmnsin m 1 n 1 m x n y sin a b (1.16) m x n y sin a b (1.17) Trong ú: Amn v Bmn, l cỏc hng s. Amn= a b 4 m2 n2 4 Dab 2 2 b a Bmn= 4 ab a b q( x, y )sin 0 0 2 q( x, y )sin 0 0 m x n y sin dxdy a b m x n y sin dxdy a b (1.18) (1.19) Bit c vừng w, ta cú th tỡm c ni lc trong tm. b. Li gii ca Levy cho tm cú hai bờn ta song song Xột tm ch nht cú hai biờn ta song song v hai biờn ta cũn li cú iu kin biờn bt k, chu ti trng phõn b q(x, y). Ta cú iu kin biờn sau: Ti y = 0 , y = b w = 0 v 2w =0 y 2 (1.19) Levy ngh khai trin hm vừng w(x, y) v hm ti trng q(x, y) thnh chui lng giỏc n. W(x, y) = Ym ( y ) sin m 1 2 q(x, y) = aD Hc viờn: Lờ Th Hu m x a a q( x, y ) sin m 1 0 (1.20) m x dx a (1.21) Lp 15C2 14 Thay (1.20) v (1.21) vo phng trỡnh Sophie Germain-Lagrange ta nhn c phng trỡnh vi phõn. 2 4 d 4Ym m d 2Ym m 2 -2 + Ym= 4 2 aD dy a dy a a q sin 0 m x dx a (1.22) Nghim ca phng trỡnh (1.22) l Ym(y)=Amsh m y m y m y m y +Bmch +Cmysh +Dmych +fm(y) a a a a (1.23) Trong ú: Am, Bm, Cm, Dm l cỏc hng s c xỏc nh theo cỏc iu kin biờn cũn li; f(y) l hm s mt bin y v c xỏc nh theo ti trng q(x, y) v cng D. Li gii (1.20) v (1.23) ca Levy cú tớnh tng quỏt hn, cho kt qu hi t tt hn nhng phc tp hn li gii ca Navier ó trỡnh by trờn. c. Phng phỏp bin phõn Bi toỏn bin thõn l bi toỏn tỡm cc tr ca phim hm. Phim hm l mt i lng m giỏ tr ca nú ph thuc vo mt hoc nhiu hm s ca mt hoc nhiu bin s c lp. Trong c hc núi chung v trong lý thuyt n hi núi riờng, nng lng ca h l nhng phim hm ca cỏc i s ni lc, chuyn v v bin dng. Nguyờn lý bin phõn ca lý thuyt n hi l cỏc iu kin cc tr (iu kin dng) ca nhng phim hm ny. Bi toỏn bin phõn liờn quan n nguyờn lý nng lng cc tiu trong c hc núi chung v trong lý thuyt n hi núi riờng. Theo nguyờn lý tng quỏt thỡ trng ng sut, bin dng v chuyn v thc l trng lm phim hm nng lng ton phn t giỏ tr cc tiu. gii bi toỏn ny, ngi ta thit lp trc tip cỏc iu kin cc tr ca phim hm kho sỏt bng cỏch gi thit dng ca cỏc hm dng. Cỏc phng phỏp bin phõn l cỏc phng phỏp gn ỳng gii bi toỏn tm núi riờng v bi toỏn kt cu núi chung. Chỳng ta s cp n hai phng phỏp gii trc tip bi toỏn bin phõn, ú l phng phỏp Ritz-Timoshenko v phng phỏp Boubnov-Galerkin. Phng phỏp Ritz-Timoshenko Hc viờn: Lờ Th Hu Lp 15C2